Question

已知数列{a_n}是首项a₁=，公比为的等比数列，s_n为数列{a_n}的前n项和，又b_n+5log=t，常数t∈N^*，数列{C_n}满足×b_n．
（Ⅰ）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（Ⅱ）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）先根据条件求出数列{an}与数列{bn}的通项，从而求出{cn}的通项，再根据{cn}是递减数列则cn+1-cn＜0恒成立，从而可求出t的最小值；
（II）分别以ck，ck+1，ck+2为等比中项建立等式，然后解方程，看其是否有正整数解，从而可判定排列后是否成等比数列．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，an=，∴Sn==1-，
∴bn=t-5log2（1-Sn）=t-5log2=5n+t，∴cn=（5n+t），
∴{cn}是递减数列，
∴cn+1-cn=（-5n-t）＜0恒成立，即t＞-5n+5恒成立，
∴f（n）=-5n+5是递减函数，∴当n=1时f（n）取最大值0，
∴t＞0，又t∈N*，∴tmin=1．                                   …（6分）
（Ⅱ）记5k+t=x，则ck=（5n+t）（）k=x（）k，且x∈N*，
∴ck+1=（5k+5+t）（）k+1=（x+5）（）k+1，ck+2=（5k+10+t）（）k+2=（x+10）（）k+2，
①若ck是等比中项，则由ck+1•ck+2=ck2得：
（x+5）（）k+1•（x+10）（）k+2=x2（）k+2，化简得：7x2-15x-50=0，显然不成立．
②若ck+1是等比中项，则由ck•ck+2=ck+12得：
x（）k•（x+10）（）k+2=（x+5）2（）2k+2，化简得：x（x+10）=（x+5）2，显然不成立．
③若ck+2是等比中项，则由ck•ck+1=ck+22得：
（x+5）（）k+1•x（）k=（x+10）2（）2k+4，化简得：7x2+20x-100=0，
因为△=202+4×7×100=32×100不是完全平方数，因而x的值是无理数，与x∈N*矛盾．
综上：不存在k和t适合题意．…（12分）