Question

设关于x的方程x²-mx-1=0 有两个实根α、β，且α＜β．定义函数．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判断f（x） 在区间（α，β） 上的单调性，并加以证明；
（3）若λ，μ 为正实数，求证：．

Answer

（1）若α，β 是方程x2-mx-1=0 的两个实根，由韦达定理我们易得到两根之和与两根之积，然后根据函数，我们可以求出f（α），f（β）的值，进而得到αf（α）+βf（β） 的值；
（2）方法一：任取α＜x1＜x2＜β，我们根据已知中函数的解析式，判断f（x1），f（x2）的大小，然后根据函数单调性的定义即可得到结论；
方法二：根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数的符号，即可得到结论．
（3）根据比例的性质我们可以得到：，，然后根据（2）的结论，易得，． 进而根据绝对值的性质即可得到结论．
【解析】
（1）∵α，β 是方程x2-mx-1=0 的两个实根，∴．
∴，…（3分）
同理，
∴αf（α）+βf（β）=2．…（5分）
（2）方法一：设α＜x1＜x2＜β，
则x2-x1＜0，且= …（7分）
由题设知，x12-mx1-1＜0，x22-mx2-1＜0，
∴（x12+x22）-m（x1+x2）-2＜0，
而2x1x2＜x12+x22，∴2x1x2-m（x1+x2）-2＜0 …（9分）
∴f（x1）＜f（x2），即f（x） 在区间（α，β） 上为增函数． …（10分）
方法二：∵，
∴，…（7分）
当x∈（α，β） 时，x2-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，…（9分）
从而f'（x）＞0，∴f（x） 在（α，β） 上为增函数．…（10分）
（3）∵λ，μ∈R+ 且α＜β 
∴ 
，，
∴，…（12分）
由（Ⅱ）可知，
同理可得．    …（14分）
∴，
∴．    …（16分）