Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（3）当x＞y＞e-1时，求证：．

Answer

（Ⅰ），由此进行分类讨论，能求出函数f（x）在定义域内的极值点的个数．
（Ⅱ）由函数f（x）在x=1处取得极值，知a=1，故，由此能求出实数b的取值范围．
（Ⅲ）由，令，则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ），
当a≤0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，
∴f（x）在上递减，在上递增，
即f（x）在处有极小值．
∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．（4分）
（注：分类讨论少一个扣一分．）
（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，…（5分）
∴，…（6分）
令，可得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，…（8分）
∴，即．（9分）
（Ⅲ）证明：，（10分）
令，
则只要证明g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
又∵，
显然函数在（e-1，+∞）上单调递增．（12分）
∴，即g'（x）＞0，
∴g（x）在（e-1，+∞）上单调递增，
即，
∴当x＞y＞e-1时，有．（14分）