Question

矩形ABCD中，AD=2，AB≥AD，E为AD的中点，P是AB边上一动点．当∠DPE取得最大时，AP等于（ ）
A．2
B．
C．
D．1

Answer

设AP=x，x＞0，设∠DPE=θ，则易知0°＜θ＜60°，在△DPE中利用余弦定理可表示出cosθ，然后转化为求函数sinθ的最大值问题即可解决．
【解析】
设AP=x，则x＞0，由题意知，DE=1，PE=，PD=，
可以看出三边中其中DE最短，所以其对应的∠DPE最小，设∠DPE=θ，则0°＜θ＜60°，
由余弦定理得：cosθ==，
sin2θ=1-cos2θ=1-=，
因为sinθ在0°＜θ＜60°时为单调梯增函数，要使θ最大，即sinθ，最大就可，
sin2θ=，而=9，
当且仅当即x=时取等号．
则，所以sin，当x=时取等号，即θ取得最大值，
故选C．