Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=2a_n-2 ⁿ⁺¹．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）若不等式a _n+1＜（5-λ）a_n恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1-22得a1=4．由Sn=2an-2n+1，Sn-1=2an-1-2n，得an=2an-1+2n，由此能够证明数列是等差数列．
（Ⅱ）由，知an=（n+1）•2n．因为an＞0，所以不等式an+1＜（5-λ）an等价于．因为，而0＜≤1，所以，由此能求出使不等式an+1＜（5-λ）an成立的λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1-22
得a1=4．Sn=2an-2n+1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n，
两式相减得an=2an-2an-1-2n．
即an=2an-1+2n，
所以
=．
又，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
即an=（n+1）•2n．
因为an＞0，所以不等式an+1＜（5-λ）an等价于．
因为，
而0＜≤1，
所以，
故3＜5-λ，即λ＜2．
故使不等式an+1＜（5-λ）an成立的λ的取值范围是（-∞，2）． …（12分）