Question

在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答A₁、A₂、A₃三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：

A1	A2	A3
1000	2000	3000

当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答A₁、A₂、A₃的概率分别为，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为，且各个问题回答正确与否互不影响．
（Ⅰ）按照答题规则，求该选手A₁回答正确但所得奖金为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

Answer

（I）记“A1回答正确A2回答错误”为事件A；“A1、A2回答正确A3回答错误”为事件B；“A1回答正确但所得奖金为零”为事件C，事件A、B互斥，利用互斥事件、对立事件的概率公式求出选手A1回答正确但所得奖金为零的概率；
（II）由于该选手所获奖金总数为ξ，由题意则X的可能取值是0，1000，3000，6000，利用随机变量的定义及分布列定义即可求出期望值．
【解析】
（Ⅰ） 记“A1回答正确A2回答错误”为事件A；“A1、A2回答正确A3回答错误”为事件B；“A1回答正确但所得奖金为零”为事件C，事件A、B互斥，
则P（C）=P（A+B）=P（A）+P（B）
=．…（6分）
（Ⅱ）ξ的取值分别为0、1000、3000、6000，
则，，，，
故ξ的分布列为：

ξ 1000 3000 6000
P

∴=0+400+400+200=1000（元）．  …（12分）