Question

已知F是椭圆D：的右焦点，过点E（2，0）且斜率为正数的直线l与D交于A、B两点，C是点A关于x轴的对称点．
（Ⅰ）证明：点F在直线BC上；
（Ⅱ）若，求△ABC外接圆的方程．

Answer

（Ⅰ）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用向量共线，证明B、F、C三点共线，即点F在直线BC上；
（Ⅱ）利用，确定直线的斜率，从而可求A，B，C的坐标，即可求△ABC外接圆的方程．
（Ⅰ）证明：设直线l：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，-y1），F（1，0），
由得（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0．
所以，．
又△=64k4-8（2k2+1）（4k2-1）＞0，则．…（3分）
而，，
所以（x1-1）（kx2-2k）-（x2-1）（-kx1+2k）=k[2x1x2-3（x1+x2）+4==0．…（5分）
∴B、F、C三点共线，即点F在直线BC上．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
因为，，
所以=（1-k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]===1，
又k＞0，解得，满足．…（9分）
代入（2k2+1）x2-8k2x+8k2-2=0，知 x1，x2是方程3x2-4x=0的两根，
根据对称性不妨设x1=0，，即A（0，-1），C（0，1），．…（10分）
设△ABC外接圆的方程为（x-a）2+y2=a2+1，把代入方程得，
即△ABC外接圆的方程为．…（12分）