Question

在数列{a_n}中，（c为常数，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）通过已知条件，方程去倒数，即可推出数列满足等差数列的定义，说明数列是等差数列；
（Ⅱ）通过第一问，直接求出a1，a2，a5，利用等比数列直接求出c的值；
（Ⅲ）通过第二问，求出an，然后利用bn=anan+1，通过裂项法直接求数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）因为，所以an≠0，
则，又c为常数，
∴数列是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∵a1=1，∴a2=，a5=，
∵a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，所以，
解得c=0或c=2，当c=0时，an=an+1，不满足题意，舍去，
所以c的值为2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴，
bn=anan+1==，
所以数列{bn}的前n项和
Sn==