Question

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

Answer

（1）由AD∥BC和AD⊥平面ABE证明AE⊥BC，再由BF⊥平面ACE得AE⊥BF，根据线面垂直的判定定理证出AE⊥平面BCE，即证出AE⊥BE；
（2）由题意知AD⊥平面ABE，则过E点作EH⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，再根据条件求出EH和AB，利用换低求出三棱锥的体积；
（3）根据条件分别在△ABE中过M点作MG∥AE和△BEC中过G点作GN∥BC，根据线面平行的判定证出MG∥平面ADE和GN∥平面ADE，由面面平行的判定证出平面MGN∥平面ADE，则得到N点在线段CE上的位置．
【解析】
（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC
又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，且BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE
（2）过E点作EH⊥AB，∵AD⊥平面ABE，∴AD⊥EH，
∴EH⊥平面ABCD，
∵AE=EB=2，∴AB=2，EH=，
∴××
（3）在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连MN，
∵AM=2MB，∴CN=
∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE
同理可证，GN∥平面ADE，
∵MG∩GN=G，∴平面MGN∥平面ADE
又∵MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE，
∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点