Question

如图，椭圆C：（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过（1，0）点的直线L与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点A′（A′与B不重合），求证直线A′B与x轴交于一个定点，求此点坐标．

Answer

（Ⅰ）根据椭圆C：（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为，建立方程组，结合b2=a2-c2，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，直线AB的方程，代入椭圆方程，可得直线A′B的方程，利用韦达定理，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
∵椭圆C：（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为，
∴
∵b2=a2-c2
∴
∴a=2
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（x1，-y1），
直线AB的方程代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2x+k2-4=0
∴x1+x2=，
又直线A′B的方程为y-y2=（x-x2）
令y=0可得x====4
∴直线A′B与x轴交于一个定点，坐标为（4，0）．