Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线（θ为参数）和定点A（0，），F₁，F₂是左右焦点．
（Ⅰ）求经过点F₁垂直于直线AF₂的直线L的参数方程．
（Ⅱ） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程．

Answer

（1）利用三角函数中的平方关系消去参数θ，将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线L的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式，即可得到直线L的参数方程．
（2）设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，利用正弦定理列出关于ρ、θ的关系式，化简即得直线AF2的极坐标方程．
【解析】
（1）圆锥曲线，化为普通方程得+=1，
所以焦点为F1（-1，0），F2（1，0），
∴直线AF2的斜率k==-
因此，经过点F1垂直于直线AF2的直线L的斜率k1=-=，直线L的倾斜角为30°
所以直线L的参数方程是，即（t为参数）．（6分）
（2）直线AF2的斜率k=-，倾斜角是120°，
设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点，
则，即ρsin（120°-θ）=sin60°，
化简得ρcosθ+ρsinθ=
所以直线AF2的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-=0．（10分）