Question

若函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，且满足f（x+1）=-f（x），当x∈[0，1]时f（x）=2^x-1，则函数y=f（x）的图象与函数y=lg（|x|）的图象的交点个数为（ ）
A．16
B．18
C．20
D．无数个

Answer

由已知条件可得出函数的周期性、奇偶性和单调性，并画出图象即可得出答案．
【解析】
∵函数y=f（x）满足f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是一个周期为2的函数．
先作出当x∈[0，1]时f（x）=2x-1的函数图象，
由图象可知：0≤f（x）≤1．
又∵函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，∴当x∈[-1，0]时的图象与x∈[0，1]时的图象关于y轴对称．
再根据其周期性即可作出整个函数y=f（x）的图象．
先作出函数y=lgx（x＞0）时的图象，
又函数y=lg|x|在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时是偶函数，因此函数y=lg|x|的图象关于y轴对称．
当1≤x≤10时，0≤lgx≤1，此时函数y=f（x）与此图象有9个交点，
当0＜x＜1或10＜x时，函数y=f（x）与y=lgx无交点；
又∵函数y=f（x）与y=lg|x|都是偶函数，∴当x＜0时也有9个交点，
故共有18个交点．
故选B．