Question

设实数a，b满足lg（a-1）+lg（b-1）=lg4，则a•b的取值范围是    ．

Answer

首先由对数的性质可得a＞1、b＞1，结合对数的运算性质可将lg（a-1）+lg（b-1）=lg4变形为ab-（a+b）-3=0，结合基本不等式可得ab-2-3≥0，运用换元法，令t=，可得t2-2t-3≥0，解此方程并结合可得t的范围可得t≥3，转化可得ab≥9，即可得答案．
【解析】
根据题意，lg（a-1）+lg（b-1）=lg4，有a-1＞0，b-1＞0，即a＞1、b＞1，
lg（a-1）+lg（b-1）=lg4⇒lg（a-1）（b-1）=lg4⇒（a-1）（b-1）=4，
即ab-（a+b）+1=4，变形可得ab-（a+b）-3=0，①
又由a+b≥2，
将其代入①可得，ab-2-3≥0，
令t=，则t＞1，可得t2-2t-3≥0，
解可得t≥3或t≤-1，
又由t＞1，则t≥3，即≥3，则ab≥9，
则a•b的取值范围是[9，+∞）；
故答案为[9，+∞）．