(Ⅰ)求导函数,根据函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈R)在处取得极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线y+2=0平行,建立方程,即可求a,b的值;
(Ⅱ)依题意得对x∈[-1,2]都有x3-x2-2x<c2-c恒成立,利用导数法,确定左边对应函数的最大值,可得不等式,从而可求c的取值范围.
【解析】
(Ⅰ)求导函数,可得f'(x)=3x2+2ax+b
∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈R)在处取得极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线y+2=0平行
∴,∴a=-,b=-2
(Ⅱ)对x∈[-1,2]都有f(x)<c2恒成立,等价于对x∈[-1,2]都有x3-x2-2x<c2-c恒成立,
设y=x3-x2-2x,则y′=3x2-x-2=(x-1)(3x+2)
解(x-1)(3x+2)=0得x=-或x=1
当x∈(-1,-)时,y'>0;当x∈(-,1)时,y'<0;当x∈(1,2)时,y'>0
则f(x)极大值=,f(x)极小值=-
又f(-1)=,f(2)=2,所以f(x)最大值=2;
∴2<c2-c
∴c<-1或c>2.