Question

已知等边三角形OAB的边长为（点O为坐标原点），且三个顶点均在抛物线E：x²=2py（p＞0）上．
（I）求抛物线E的方程以及焦点的坐标；
（II）若直线l₁与抛物线E相切于点A（x_A＜0），直线l₂与抛物线E相切于点B（x_B＞0），试求直线l₁，l₂的方程以及这两条直线的交点坐标．

Answer

（I）由题设知|OA|=8，BC边和y轴的夹角为30°，设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12，由B（4，12）在x2=2py上，知，由此能求出抛物线方程．
（II）由（I）知A（-4，12），B（4，12），且y=，所以，由导数的几何意义能求出直线l1，l2的方程以及这两条直线的交点坐标．
【解析】
（I）∵等边三角形OAB的边长为（点O为坐标原点），
且三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上，
∴|OA|=8，BC边和y轴的夹角为30°，
设B（x，y），则x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12，
∵B（4，12）在x2=2py上，∴，
∴p=2．
∴抛物线方程为x2=4y．
（II）由（I）知A（-4，12），B（4，12），且y=，
∴，
∴kA==-2，
∴直线l1的方程为y-12=-2（x+4），即2x+y+12=0．
=2，
∴直线l2的方程为y-12=2（x-4），即2-y-12=0．
解方程组，得x=0，y=-12．
∴直线l1，l2的交点坐标为（0，-12）．