Question

已知双曲线过点（4，），渐近线方程为y=±x，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是    ．

Answer

求出双曲线方程，可得双曲线的顶点、焦点，从而可得圆心坐标，即可求圆心到该双曲线的中心的距离．
【解析】
由题意，设双曲线方程为
∵双曲线过点（4，），∴λ=1
∴双曲线的方程为，
∴双曲线的顶点为（±3，0），焦点为（±5，0）．
又圆心在双曲线上，所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±4，
设圆心的纵坐标为m，则-=1，
所以m2=，
所以所求的距离为=．
故答案为：．