Question

如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
（1）在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥面DBC，若存在，求线段DF的长度，若不存在，说明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG，则CG⊥AB，由DB⊥平面ABC，知DB⊥CG，所以CG⊥面ABDE，，CG=，故CD=，，由此能够得到存在F为CD中点，DF=时，使得EF⊥面DBC．
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，则=（2，0，1），=，．求出平面BCE的法向量和平面CDE的法向量，由向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG，则CG⊥AB，
∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥CG，
所以CG⊥面ABDE，
所以，CG=，
故CD=，（3分）
取CD的中点为F，BC的中点为H，
因为，，
所以AEFH为平行四边形，得EF∥AH，（5分）
平面BCD
∴EF⊥面DBC
存在F为CD中点，DF=时，使得EF⊥面DBC．（7分）
（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BD为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，
且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，
CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
∴、B（0，0，0）、E（2，0，1）、D（0，0，2），
从而=（2，0，1），=，．（8分）
设为平面BCE的法向量，
则可以取（10分）
设为平面CDE的法向量，
则取（11分）
因此，，（13分）
故二面角D-EC-B的余弦值为（14分）