Question

已知抛物线C₁：y²=4x的焦点与椭圆C₂：的右焦点F₂重合，F₁是椭圆的左焦点．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），点C在抛物线y²=4x上运动，求△ABC重心G的轨迹方程；
（2）若P是抛物线C₁与椭圆C₂的一个公共点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值及△PF₁F₂的面积．

Answer

（1）设重心G（x，y），C（x′，y′）．则（*）．将（*）代入y2=4x中，得由此可知△ABC重心的轨迹方程为
（2）由y2=4x得F2（1，0），所以椭圆方程为．设P（x1，y1），由题意得2x12+9x1-18=0，解得（舍）．设点P到抛物线y2=4x准线的距离为PN，则|PF2|=|PN|．由此能够推导出．
【解析】
（1）设重心G（x，y），C（x′，y′）．
则整理得（*）
将（*）代入y2=4x中，得
所以，△ABC重心的轨迹方程为（5分）
（2）∵椭圆与抛物线有共同的焦点，由y2=4x得F2（1，0），
∴b=8，椭圆方程为．
设P（x1，y1），由得2x12+9x1-18=0，
∴（舍）．
∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1．
设点P到抛物线y2=4x准线的距离为PN，则|PF2|=|PN|．
又，
∴，．
过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，
在Rt△PP1F1中，，
在Rt△PP1F2中，，
∴，
∵，∴．
∴．（13分）