Question

A﹑B﹑C是直线l上的三点，向量﹑﹑满足：-[y+2f'（1）]•+ln（x+1）•=；
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；          
（Ⅱ）若x＞0，证明f（x）＞；
（Ⅲ）当时，x∈[-1，1]及b∈[-1，1]都恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）将条件可变形为，根据A﹑B﹑C三点共线，整理我们可得y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），求出，可得函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-，证明函数g（x）在 （0，+∞）上是增函数，从而有g（x）＞g（0）=0，即可证得；
（III）原不等式等价于，要使x∈[-1，1]恒成立，我们可以求出左边的最大值，从而将问题转化为m2-2bm-3≥[h（x）]max=0，构造一次函数令Q（b）=m2-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，则有Q（1）≥0及Q（-1）≥0，从而得解．
【解析】
（I）由三点共线知识，
∵=，∴，
∵A﹑B﹑C三点共线，
∴[y+2f'（1）]+[-ln（x+1）]=1
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1）．
∴∴，
∴f（x）=ln（x+1）…4分
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-，
由，
∵x＞0，∴g'（x）＞0
∴g（x）在 （0，+∞）上是增函数，
故g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞；…8分
（III）原不等式等价于，令
h（x）==，由，
当x∈[-1，1]时，[h（x）]max=0，
∴m2-2bm-3≥0，
令Q（b）=m2-2bm-3，要使b∈[-1，1]恒成立，则有Q（1）≥0及Q（-1）≥0
即，解得m≤-3或m≥3．…12分．