Question

为了学生的全面发展，某中学在高一学年是推行“合理作业”（合理作业是指：放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时）活动．高一学年共有学生2000人，其中男生1200人，女生800人，为了调查2012年3月（按30天计算）学生“合理作业”的天数情况，通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本，统计他们在该月30天内“合理作业”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求抽取的40人中男生、女生的人数；
（2）在抽取的40人中任取3人，设ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer

（Ⅰ） 抽取的40人中男生人数=，抽取的40人中女生人数=，由此能求出结果．
（Ⅱ）由抽取的40人中“合理作业”天数超过25天的人数=0.01×5×40=2人，知ξ的可能取值为0，1，2，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）．由此能求出ξ的分布列及数学期望Eξ．
【解析】
（Ⅰ） 抽取的40人中男生人数==24人；
抽取的40人中女生人数==16人．
∴抽取的40人中男生人数为24人，女生人数为16人．…（4分）
（Ⅱ）∵抽取的40人中“合理作业”天数超过25天的人数=0.01×5×40=2人，
ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数，
∴ξ的可能取值为0，1，2，
∴P（ξ=0）==，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==．
∴ξ的分布列为：

ξ 1 2
P

…（8分）
E（ξ）=0×+1×+2×=0.15．…（12分）