Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在BC上，且CF=2FB．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）当FG⊥平面AEC时，求二面角P-CD-A的正切值．

Answer

（1）欲证FG∥平面PAB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证FG与平面PAB内一直线平行，连接CG延长交PA于M，连BM，根据比例可得FG∥BM，BM⊂平面PAB，FG⊄平面PAB，满足定理条件；
（2）连EM，根据二面角平面角的定义可知∠PDA二面角P-CD-A的平面角，在△PDA中求出此角的正切值即可．
（1）证明：连接CG交AP于M点
∵G为△PAC的重心，∴，∴FG∥BM，
又BM⊂平面PAB，∴FG∥平面PAB…（4分）
（2）【解析】
因为PA⊥平面ABCD，所以AD⊥CD，所以PD⊥CD，所以∠PDA即为二面角的平面角 …（6分）
在直角梯形ABCD中，ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，所以…（7分）
连BM，连EM，
∵FG⊥平面AEC，∴FG⊥AE，即BM⊥AE，又EM=AB=1，
设EA∩BM=H，则EH=HA，
设PA=h，则EA=PB=，EH=EA=，
∵Rt△AME～Rt△MHE，
∴EM2=EH•EA．
∴，
∴h=2，即…（9分）
∴tan∠PAD==2…（12分）