过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x，y），．（...

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x，y）， manfen5.com 满分网

．
（1）求y；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）设（2）中直线AB恒过定点F，是否存在实数λ，使 manfen5.com 满分网

恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

（1）设A，B的坐标，求得直线PA、PB的方程，利用，可得y；（2）求出直线AB的方程，令x=0，结合（1）的结论，即可证得直线AB恒过定点；（3）利用坐标表示向量，结合数量积公式，即可得到结论．（1）【解析】设，，（x1≠x2）．由x2=4y，得：，∴， ∵，∴PA⊥PB，∴x1x2=-4．直线PA的方程是：，即．① 同理，直线PB的方程是：．② 由①②得：，（x1，x2∈R）．…（4分）（2）证明：由（1）可得直线AB的方程为令x=0，可得， ∵，∴y=1 ∴直线AB恒过点（0，1）…（8分）（3）【解析】由（1）得：，，x1x2=-4， ∴ ∵，∴， ∴， ∴．故存在λ=1使得．…（12分）

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考点分析：

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已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在BC上，且CF=2FB．
（1）求证：FG∥平面PAB；
（2）当FG⊥平面AEC时，求二面角P-CD-A的正切值．

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为了学生的全面发展，某中学在高一学年是推行“合理作业”（合理作业是指：放学后学生每天完成作业的时间不超过两小时）活动．高一学年共有学生2000人，其中男生1200人，女生800人，为了调查2012年3月（按30天计算）学生“合理作业”的天数情况，通过分层抽样的方法抽取了40人作为样本，统计他们在该月30天内“合理作业”的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）求抽取的40人中男生、女生的人数；
（2）在抽取的40人中任取3人，设ξ为取出的三人中“合理作业”天数超过25天的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．