Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点
（1）若AF∥平面BDE，求CE的长；
（2）若平面BDE⊥平面A₁BD，求三棱锥F-ABE的体积．

Answer

（1）连接AC交BD于O，连接CF交DE于P，连接PO，由AF∥平面BDE，知AF∥PO，由O为AC中点，知P为CF中点，由此能求出CE的长．
（2）由平面BDE⊥平面A1BD且EO⊥BD，知EO⊥平面A1BD，由AC1⊥平面A1BD，知EO∥AC1，因此E为CC1的中点，由此能求出三棱锥F-ABE的体积．
【解析】
（1）连接AC交BD于O，连接CF交DE于P，连接PO，
∵AF∥平面BDE，∴AF∥PO，
又∵O为AC中点，∴P为CF中点，（2分）
在正方形CD1C1C中，延长DE交D1C1的延长线于点Q，
由平面几何知识得，
所以CE=．（5分）
（2）∵平面BDE⊥平面A1BD且EO⊥BD，
∴EO⊥平面A1BD，（7分）
又∵AC1⊥平面A1BD，∴EO∥AC1，
因此E为CC1的中点，（9分）
∵B1C⊥平面ABF，∴E到平面ABF 的距离为，
又∵，
∴三棱锥F-ABE的体积．（12分）