Question

已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）

Answer

（Ⅰ）由直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）过定点，可得x-y-3+k（x-3）=0，即，解得定点F；设椭圆C的方程，则，解得a、b，即得椭圆C的方程．
（Ⅱ）点P（m，n）在椭圆C上，则，从而得圆心O到直线l的距离，即直线l与圆O相交；直线l被圆O截得的弦长为，
可得L的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，
则由，解得定点F（3，0）；
设椭圆C的方程为，则，解得；
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以，从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离，所以直线l与圆O恒相交；
又直线l被圆O截得的弦长为=，
由于0≤m2≤25，所以，则，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是．