Question

已知函数
（1）当a=2时，求证：对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，有；
（2）若x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer

（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），因为，所以g（x）在（0，+∞）上递增，由此能够证明．
（2）由x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，分a≤1和a＞1两种情况进行分类讨论，由此能求出a的取值范围．
【解析】
（1）令g（x）=f（x）+x（x＞0），
因为，
所以g（x）在（0，+∞）上递增，（3分）
所以g（x2）＞g（x1），
故．（5分）
（2）∵x∈（1，3）时，f（x）＞0恒成立，
当a≤1时，

∴f（x）在（1，3）上递增，
所以f（x）＞f（1）=0满足条件．（8分）
当a＞1时，
令，
∵f′（1）=1-a＜0，
∴x1＜1＜x2，
令b=min{x2，3}，则f（x）在（1，b）上递减，
所以f（x）＜f（1）=0，不合题意．（11分）
综上a的取值范围为{a|a≤1}．（12分）