Question

对于函数y=f（x），存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，y∈[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．已知f（x）=e^x+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是    ．

Answer

f（x）=ex+x的定义域是R，f（x）在定义域为单调增函数，由题设条件得k=，令g（x）=，利用导数求的g（x）的极小值为：g（1）=1+e，由此能求出k的取值范围．
【解析】
∵f（x）=ex+x的定义域是R，f（x）在定义域为单调增函数，
∴有：f（a）=ka，f（b）=kb，
即：ea+a=ka，eb+b=kb，即a，b为方程ex+x=kx的两个不同根，
∴k=，
令g（x）=，则，
令=0，得极小值点x=1．
故g（x）的极小值为：g（1）=1+e，
当x→0时，g（x）→+∞，当x→∞时，g（x）→1，
∴k＞1+e时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程 k=有两个解．
故所求的k的取值范围为（e+1，+∞），
故答案为：（e+1，+∞）．