Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，，D是AC中点
（Ⅰ）求三棱锥B₁-BDC₁的体积；
（Ⅱ） 证明：AB₁⊥BC₁．

Answer

（1）正三棱柱ABC-A1B1C1中，由AB=2，，D是AC中点，能求出三棱锥D-B1BC1的高，由此利用等积法能求出三棱锥B1-BDC1的体积．
（2）分别取BB1、B1C1、AB、BC的中点E，F，O，G，连接EF，OF，OE，GF，GO，由EF=，OE=，OF=，得到∠OEF是异面直线AB1和BC1所成的角或所成角的补角．由此利用余弦定理能证明AB1⊥BC1．
（1）【解析】
正三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵AB=2，，D是AC中点，
∴==，
三棱锥D-B1BC1的高h==，
∴三棱锥B1-BDC1的体积
===．…（6分）
（2）证明：分别取BB1、B1C1、AB、BC的中点E，F，O，G，
连接EF，OF，OE，GF，GO，
则EF=，OE=，OF==，
∴∠OEF是异面直线AB1和BC1所成的角或所成角的补角．
∵cos∠OEF==0，
∴∠OEF=90°，
∴AB1⊥BC1．…（12分）