Question

已知A，B是抛物线y²=-7x上的两点，且OA⊥OB
（Ⅰ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）求△AOB的面积的最小值．

Answer

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由OA⊥OB，知y1y2=-49，x1x2=49，利用题设条件推导出AB的方程为y-y1=，由此能推导出直线AB过点（-7，0）．
（2）直线AB过点（-7，0），OA⊥OB，当直线AB过（-7，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．由此能求出结果．
（1）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
∵OA⊥OB，∴，
∴x1x2+y1y2=0，
∴（-）•（-）+y1y2=0，
∴y1y2=-49，x1x2=49，
∴kAB===，
∴AB的方程为y-y1=，
∴y=，
∴y=（x+7），
∴直线AB过点（-7，0）…（6分）
（2）【解析】
∵直线AB过点（-7，0），OA⊥OB，
∴当直线AB过（-7，0）且垂直于x轴时，△AOB的面积的取最小值．
此时A（-7，7），B（-7，-7），
∴|OA|=|OB|=7，
∴△AOB的面积的最小值S==49．…（12分）