Question

如图，已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，F是PD的中点，E是线段AB上的点．
（I）当E是AB的中点时，求证：AF∥平面PEC；
（II）要使二面角P-EC-D的大小为45°，试确定E点的位置．

Answer

法一：
（I）取PC的中点O，连接OF，OE．由已知得OF∥DC且，由E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，故AEOF是平行四边形，由此能够证明AF∥平面PEC．
（II）作AM⊥CE交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．由此能够推导出要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需．
解法二：
（I）由已知，AB，AD，AP两两垂直，分别以它们所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．利用向量法能够证明AF∥平面PEC．
（II）求出平面DEC的一个法向量为，设E=（t，0，0），求出平面PEC的法向量为，利用向量法能求出要使要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需．
解法一：
（I）证明：如图，取PC的中点O，连接OF，OE．
由已知得OF∥DC且，
又∵E是AB的中点，则OF∥AE且OF=AE，
∴AEOF是平行四边形，
∴AF∥OE
又∵OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC
∴AF∥平面PEC．
（II）【解析】
如图，作AM⊥CE交CE的延长线于M．
连接PM，由三垂线定理得PM⊥CE，
∴∠PMA是二面角P-EC-D的平面角．
∴∠PMA=45°，
∵PA=1，∴AM=1，
设AE=x，
由△AME≌△CBE，得，解得，
故要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需．
解法二：
（I）证明：由已知，AB，AD，AP两两垂直，
分别以它们所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．
则A（0，0，0），，
∴，
∵E（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，1），
设平面PEC的法向量为
则，令x=1得，
由，得，
又AF⊄平面PEC，故AF∥平面PEC．
（II）【解析】
由已知可得平面DEC的一个法向量为，
设E=（t，0，0），设平面PEC的法向量为
则，令x=1得，
由，
故，要使要使二面角P-EC-D的大小为45°，只需．