Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．
（I）求椭圆E的方程；
（II）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．

Answer

（I）设椭圆E的方程为．离心率为，且经过点．能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）联立方程组，得（4k2+3）x2-16kx+4=0，由直线与椭圆有两个交点，解得，由原点O在以MN为直径的圆外，知∠MON为锐角，由此能求出直线斜率k的取值范围．
【解析】
（I）依题意，可设椭圆E的方程为．
由，
∵椭圆经过点，则，解得c2=1，
∴椭圆的方程为．
（II）联立方程组，消去y整理得（4k2+3）x2-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（-16k）2-16（4k2+3）＞0，解得，①
∵原点O在以MN为直径的圆外，
∴∠MON为锐角，即．
而M、N分别在OA、OB上且异于O点，即，
设A，B两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则
=（k2+1）x1x2-2k（x1+x2）+4═
解得，②
综合①②可知：．