Question

已知函数f（x）=cos²x+sinx，那么下列命题中假命题是（ ）
A．f（x）既不是奇函数也不是偶函数
B．f（x）在[-π，0]上恰有一个零点
C．f（x）是周期函数
D．f（x）在上是增函数

Answer

由f（x）=cos2x+sinx，知f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数；由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0，得sinx=，故f（x）在[-π，0]上恰有2个零点；由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，故f（x）是周期函数，且f（x）在上是增函数．
【解析】
∵f（x）=cos2x+sinx，
∴f（-x）=cos2x-sinx，
故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，即A是真命题；
∵由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0，
得sinx=，
∴f（x）在[-π，0]上恰有2个零点，即B是假命题；
∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，
∴f（x）是周期函数，即C是真命题；
∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，
∴f（x）在上是增函数，即D是真命题．
故选B．