Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数，又．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若在区间[0，m]（m＞0）上恒有f（x）≤x成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由“f（x）在区间[0，1]上是增函数，在区间（-∞，0），（1，+∞）上是减函数”，则有f'（0）=f'（1）=0，再由
．求解．
（Ⅱ）首先将“f（x）≤x，x∈[0，m]成立”转化为“x（2x-1）（x-1）≥0，x∈[0，m]成立”求解．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c，由已知f'（0）=f'（1）=0，
即
解得
∴f'（x）=3ax2-3ax，
∴，
∴a=-2，
∴f（x）=-2x3+3x2．
（Ⅱ）令f（x）≤x，即-2x3+3x2-x≤0，
∴x（2x-1）（x-1）≥0，
∴或x≥1．
又f（x）≤x在区间[0，m]上恒成立，
∴．