Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）
（I）若f（x）能表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（II）命题P：函数f（x）在区间[（a+1）²，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数．如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（III）在（II）的条件下，比较f（2）与3-lg2的大小．

Answer

（I）设f（x）=g（x）+h（x），利用函数的奇偶性，组成方程组，即可求得函数的解析式；
（II）将函数f（x）配方，利用函数在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，可得命题P为真的条件；利用函数g（x）=（a+1）x是减函数，可得命题Q为真的条件，从而可求命题P、Q有且仅有一个是真命题，a的取值范围；
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6，确定函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，在区间上为增函数，即可求得结论．
【解析】
（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴
解得g（x）=（a+1）x，h（x）=x2+lg|a+2|；
（II）∵函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|=在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，
∴，解得a≥-1或a≤-且a≠-2
又由函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
∴命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-且a≠-2，命题Q为真的条件是：a＜-1且a≠-2．
又∵命题P、Q有且仅有一个是真命题，
∴
（III）由（I）得f（2）=2a+lg|a+2|+6
∵，∴f（2）=2a+lg（a+2）+6
设函数v（a）=2a+lg（a+2）+6，v′（a）=2+＞0．
∴函数v（a）在区间上为增函数．
又∵=3-lg2，∴当时，v（a）＞，即f（2）＞3-lg2．