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如图,棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱. (I)若P为线段A1B的中点,求证C...

如图,棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱.
(I)若P为线段A1B的中点,求证CP⊥AB;
(II)若A1B⊥AC1,求二面角A1-AC1-B的大小.

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解法一:(I)证明线面垂直,利用三垂线定理,可得线线垂直; (II)过AB=a,AA1=b,过B作BE⊥AC于E,过E作EF⊥AC1于F,连接BF,可得∠HFE为二面角B-AC1-C的平面角,利用余弦定理可求二面角A1-AC1-B的大小; 解法二:(I)取AB中点O,以O为坐标原点建立直角坐标系,证明=0即可; (II)求出平面A1AC1的一个法向量、平面BAC1的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论. 解法一: (I)证明:取AB的中点O,连接PO、CO,…(1分) ∵棱柱ABC-A1B1C1为正三棱形,P是A1B的中点,∴O是AB的中点,∴PO∥A1A…(2分) ∴PO⊥平面ABC,∴CO是CP在平面ABC内的射影, ∵CO⊥AB.…(4分)∴CP⊥AB.…(5分) (II)【解析】 过AB=a,AA1=b,过B作BE⊥AC于E,则BE⊥平面A1C, 过E作EF⊥AC1于F,连接BF,则BF⊥AC1,∴∠HFE为二面角B-AC1-C的平面角.…(7分) 在△ABC中,,延长CA到D,使CA=AD,连接A1D,则A1D∥C1A ∵A1B⊥AC1,∴A1D⊥A1B, 在, 在△BAD中,由DA=BA=A,∠BAD=120°得BD2=a2+a2-2a•a•cos120°=2a2+a2=3a2, 在,∴3a2=2(a2+b2),∴,…(9分) 由Rt△AFE∽Rt△ACC1得,,∴…(11分) 二面角A1-AC1-B的大小为π-arctan3.…(12分) 解法二:取AB中点O,以O为坐标原点建立如图直角坐标系, 设AB=2a,AA1=h,则,…(1分) (I) ∵,∴…(5分) (II)【解析】 , ∵,∴a•2a+0-h2=0,∴…(7分) 则, 设平面A1AC1的一个法向量为=(x,y,z),则 ∴得平面A1AC1的一个法向量为…(8分) 又, 同理得平面BAC1的一个法向量为…(9分) ∴,…(11分) ∴二面角A1-AC1-B的大小为.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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