Question

已知函数f（x）=-x⁴+2x²．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）设点P（x，f（x））在曲线y=f（x）上，曲线在点P处的切线为l．若x∈[-1，2]，求l在y轴上的截距的取值范围．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（II）确定直线l的方程，令x=0，得l在y轴上的截距，利用换元法，结合配方法，即可求得结论．
【解析】
（I）f′（x）=-4x3+4x=-4x（x+1）（x-1）…（1分）
令f′（x）＞0得x＜-1或0＜x＜1；令f′（x）＜0得-1＜x＜0或x＞1．
因此，f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（0，1）；单调减区间为（-1，0），（1，+∞）；…（6分）
（II）由题意知直线l的方程为y-f（x）=f'（x）（x-x），…（8分）
令x=0，得l在y轴上的截距b=-xf′（x）+f（x）==．
令，∴t∈[0，4]，∴．
∴当t=时，bmin=-；当t=4时，bmax=40．
∴l在y轴上的截距的取值范围是．…（12分）