Question

若方程sinx+cosx=a在[0，2π]上有两个不同的实数解x₁、x₂，求a的取值范围，并求x₁+x₂的值．

Answer

设函数y1=sinx+cosx，y2=a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．
【解析】
设f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），x∈[0，2π]．
令x+=t，则f（t）=2sint，且t∈[]
在同一平面直角坐标系中作出y=2sint及y=a的图象，结合函数的图象可知
当1＜a＜2和-2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程sinx+cosx=a在[0，2π]上有两不同的实数解．
当1＜a＜2时，t1+t2=π，
即x1++x2+=π，
∴x1+x2=；
当-2＜a＜1时，t1+t2=3π，
即x1++x2+=3π，
∴x1+x2=．
综上可得，a的取值范围是（1，2）∪（-2，1）．
当a∈（1，2）时，x1+x2=；
当a∈（-2，1）时，x1+x2=．