Question

设集合A=[0，），B=[，1]，函数f（x）=，若f[f（x）]∈A，则x的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．（]
C．（）
D．[，]

Answer

这是一个分段函数，从f[f（x）]∈A入手，通过分类讨论依次表达出里层的解析式，最后得到关于x的不等式，解不等式得到结果．
【解析】
①当x∈A时，即0≤x＜，
所以f（x）=x+，≤x+＜1，
即≤f（x）＜1，即f（x）∈B，所以f[f（x）]=2[1-f（x）]=1-2x∈A，
即0≤1-2x＜，
解得：＜x≤1，又由0≤x＜，
所以＜x＜．
②当x∈B时，即≤x≤1，
所以f（x）=2（1-x），0≤1-x≤，
即0≤f（x）≤1，
（i）当≤x＜1时，有0≤f（x）＜，即f（x）∈A，
所以f[f（x）]=f（x）+=2（1-x）+∈A，
即0≤2（1-x）+＜，
解得：1＜x≤，又由≤x＜1，
所以x∈∅．
（ii）当≤x≤时，有≤f（x）≤1时，即f（x）∈B，
所以f[f（x）]=2[1-f（x）]=2[1-2（1-x）]∈A，
即0≤2[1-2（1-x）]＜，
解得：≤x＜，又由≤x≤，
所以≤x＜．
综上①②，则x的取值范围是：（）．
故选C．