Question

f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，（x²+1）f′（x）+2xf（x）＜0，且f（-1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer

根据积函数的求导法则可知F（x）=（x2+1）f（x），依题意可知可判断函数F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+∞）内单调递减；再由f（-1）=f（1）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（-∞，0）内的正负性．则f（x）＞0的解集即可求得
【解析】
令F（x）=（x2+1）f（x），
则F′（x）=（x2+1）f′（x）+2xf（x），
∵当x＞0时，（x2+1）f′（x）+2xf（x）＜0，
∴当x＞0时，F′（x）＜0，
∴F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=0，
∴f（1）=0，
∴当0＜x＜1时，F（x）=（x2+1）f（x）＞0，
∴f（x）＞0；①
又F（-x）=）=（x2+1）f（-x）=-（x2+1）f（x）=-F（x），
∴F（x）=（x2+1）f（x）为奇函数，又x＞0时，F（x）=（x2+1）f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴x＜0时，F（x）=（x2+1）f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（-1）=0，
∴当x＜-1时，F（x）=（x2+1）f（x）＞0，从而f（x）＞0；②
由①②得：0＜x＜1或x＜-1时f（x）＞0．
∴不等式f（x）＞0的解集是（0，1）∪（-∞，-1）．
故选D．