Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，求实数m的值；
（2）当m=2时，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，即可求实数m的值；
（2）构造函数g（x）=x-2lnx，确定函数在[1，3]上的单调性，即可求实数a的取值范围；
（3）求得函数f（x）和函数h（x）在单调递减；单调递增，求导函数，即可得到结论．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2-mlnx，
∴切点为（1，1），，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线为y=x，
∴k=f'（1）=1，即m=1
（2）f（x）-h（x）=0，等价于x2-2lnx=x2-x+a，即a=x-2lnx
令g（x）=x-2lnx，则
∴x∈[1，2]时，g′（x）≤0，函数g（x）=x-2lnx在[1，2]内单调递减；x∈[2，3]时，g′（x）≥0，函数g（x）=x-2lnx在[2，3]内单调递增．
又因为g（1）=1，g（2）=2-2ln2，g（3）=3-2ln3
故2-2ln2＜a≤3-2ln3
（3）∵h（x）=x2-x+a在单调递减；单调递增
∴f（x）=x2-mlnx也应在单调递减；单调递增
∵，
∴当m≤0时，f（x）=x2-mlnx在（0，+∞）单调递增，不满足条件；当m＞0且，即，函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调区间．