Question

已知函数f（x）=log₂（x-1），
（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）设g（x）=f（x）+m，若函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）+，求函数y=h（x）在[3，9]内的值域．

Answer

（1）由对数式的真数大于0解得x的取值集合，即为所求函数f（x）的定义域；
（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=f（x）+m，要使函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点，因为函数y=g（x）是单调函数，所以只要满足g（2）•g（3）＜0即可；
（3）根据题目给出的x的范围，求出f（x）的范围，运用函数y=x+的单调性即可求出函数h（x）的值域．
【解析】
（1）要使原函数有意义，则x-1＞0，即x＞1．故所求函数的定义域为{x|x＞1}；
（2）g（x）=f（x）+m=log2（x-1）+m，
由复合函数的单调性可知，g（x）=log2（x-1）+m在其定义与内为增函数．
要使g（x）=log2（x-1）+m在（2，3）内有且仅有一个零点，则g（2）•g（3）＜0，
即m（m+1）＜0，得-1＜m＜0．
所以，函数y=g（x）在（2，3）内有且仅有一个零点的实数m的取值范围是（-1，0）．
（3）当3≤x≤9时，2≤x-1≤8，所以log22≤log2（x-1）≤log28，
即1≤f（x）≤3，令f（x）=t，则1≤t≤3．
由h（x）=f（x）+，得：h（x）=y=t+（1≤t≤3）．
函数y=t+（1≤t≤3）的图象如图，

函数y=t+在[1，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数，
所以，当t=2，即log2（x-1）=2，x=5时，h（x）有最小值4，
而当t=1时，t+=1+4=5，当t=3时，t+=3+=，
所以，当t=1，即log2（x-1）=1，x=3时，h（x）有最大值5．
所以，函数y=h（x）在[3，9]内的值域为[4，5]．