Question

设f（log_ax）=
求证：
（1）过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）＞3．

Answer

（1）先用换元法求出函数f（x）的解析式，要证过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0，只需证明函数f（x）为增函数即可，用单调性定义可证明；
（2）代入解析式化简可得，f（3）=+1，运用基本不等式即可证明，注意等号不等取到；
证明：（1）令t=logax，则x=at，f（t）=（t∈R），
∴f（x）=（x∈R），
设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=，
（1）当a＞1时，因为x10，，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
（2）当0＜a＜1时，因为a2-1＜0，＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
∴x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），∴K=＞0，
故过函数y=f（x）图象上任意两点直线的斜率恒大于0；
（2）f（3）====+1≥2+1=3，
∵a＞0，a≠1，∴，∴上述不等式不能取等号，
∴f（3）＞3．