Question

对于函数 （a∈R，b＞0且b≠1）
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）是否存在实数a使函数f （x）为奇函数？并说明理由．

Answer

（1）根据单调性的定义证明，步骤：①取值 ②作差 ③化简 ④判号 ⑤下结论；
（2）先用特值法f（0）=0求出a，再检验．
【解析】
（1）函数f （x）的定义域是R，
当b＞1时，函数f （x）在R上单调递增；当0＜b＜1时，函数f （x）在R上是单调递减．
证明：任取R上两x1，x2，且x1＜x2，
f （x1）-f （x2）=a--（ a-）==
当b＞1时，∵x1＜x2∴∴
得f （x1）-f （x2）＜0   
所以f （x1）＜f （x2）
故此时函数f （x）在R上是单调增函数；
当0＜b＜1时，∵x1＜x2∴∴
得f （x1）-f （x2）＞0         
所以f （x1）＞f （x2）
故此时函数f （x）在R上是单调减函数．
（2）f （x）的定义域是R，
由f（0）=0，求得a=1．
当a=1时，，
满足条件f（-x）=-f（x），
故a=1时函数f （x）为奇函数．