Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=（n∈N^*）
（1）证明：数列{}为等差数列，并求{a_n}的通项公式
（2）如果数列{}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（1）an+1=可化为-=1，即可得到数列{}为等差数列，从而可求{an}的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列的和．
（1）证明：∵an+1=
∴-=1
∵a1=1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴=n，∴an=；
（2）【解析】
=n•2n
∴Sn=1•2+2•22+…+n•2n①
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1②
①-②可得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=（1-n）•2n+1•2n+1-2
∴Sn=（n-1）•2n+1+2．