Question

已知二次函数f（x）=ax²-4x+c．若f（x）＜0的解集是（-1，5）
（1）求实数a，c的值；
（2）求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．

Answer

（1）由不等式f（x）＜0的解集是（-1，5），可知二次不等式对应的方程的根，利用根与系数关系列式求a和c的值；
（2）求出函数f（x）的解析式后，借助于其图象分析函数在[0，3]上的单调性，运用单调性求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．
【解析】
（1）由f（x）＜0，得：ax2-4x+c＜0，
不等式ax2-4x+c＜0的解集是（-1，5），
故方程ax2-4x+c=0的两根是x1=-1，x2=5．
所以
所以a=1，c=-5．
（2）由（1）知，f（x）=x2-4x-5=（x-2）2-9．
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数．
∴当x=2时，f（x）取得最小值为f（2）=-9．
而当x=0时，f（0）=（0-2）2-9=-5，当x=3时，f（3）=（3-2）2-9=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值为f（0）=-5．
∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[-9，-5]．