Question

已知双曲线C的方程为x²-=1，点A（m，2m）和点B（n，-2n）（其中m和n均为正数）是双曲线C的两条渐近线上的两个动点，双曲线C上的点P满足=λ•（其中λ∈[，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O为坐标原点）面积的取值范围．

Answer

（1）由A（m，2m），B（-n，2n），根据 =λ•得P点的坐标代入双曲线方程化简整理m，n与λ的关系式；
（2）设∠AOB=2θ，进而根据直线的斜率求得tanθ，进而求得sin2θ，进而表示出|OA|，得到△AOB的面积的表达式，根据λ的范围求得三角形面积的最大值和最小值，△AOB面积的取值范围可得．
【解析】
（1）由已知，点A（m，2m）和点B（n，-2n），设P（x，y）
由=λ•，得，故P点的坐标为（，），…（3分）
将P点的坐标代入x2-=1，化简得，mn=．…（3分）
（2）设∠AOB=2θ，则tanθ=2，所以sin2θ=．…（1分）
又|OA|=，|OB|=，
所以S△AOB=|OA||OB|sin2θ=2mn==，…（3分）
记S（λ）=，λ∈[，3]）．
则S（λ）在λ∈[，3]）上是减函数，在λ∈[1，3]上是增函数．…（2分）
所以，当λ=1时，S（λ）取最小值2，当λ=3时，S（λ）取最大值．
所以△AOB面积的取值范围是[2，]．…（2分）