Question

定义x₁，x₂，…，x_n的“倒平均数”为（n∈N^*）．已知数列{a_n}前n项的“倒平均数”为，记c_n=（n∈N^*）．
（1）比较c_n与c_n+1的大小；
（2）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{c_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤c_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出最大的实数λ；若不存在，说明理由．
（3）设数列{b_n}满足b₁=1，b₂=b（b∈R且b≠0），b_n=|b_n-1-b_n-2|（n∈N^*且n≥3），且{b_n}是周期为3的周期数列，设T_n为{b_n}前n项的“倒平均数”，求T_n．

Answer

（1）根据，可得Sn=2n2+4n，进而可得an=4n+2（n∈N*），cn==4-，从而可得cn+1-cn＞0，由此可得结论；
（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立，即-x2+4x≤cn对任意n∈N*恒成立，从而可得x2-4x+3≥0，解不等式，即可得到结论；
（3）由b1=1，b2=b，得b3=|b-1|，分类讨论，结合{bn}是周期为3的周期数列，可得{bn}为1，1，0，1，1，0，…，进而可得Sn=，由此可求结论．
【解析】
（1）设数列{an}的前n项和为Sn，由题意得，所以Sn=2n2+4n，…（1分）
当n=1时，a1=S1=6，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n+2，而a1也满足此式．
所以an=4n+2（n∈N*）．…（1分）
所以cn==4-，…（1分）
∴cn+1-cn==＞0，因此cn＜cn+1．…（1分）
（2）假设存在实数λ，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立，
即-x2+4x≤cn对任意n∈N*恒成立，…（2分）
由（1）知数列{cn}是递增数列，所以只要-x2+4x≤c1，即x2-4x+3≥0，（2分）
解得x≤1或x≥3．…（1分）
所以存在最大的实数λ=1，使得当x≤λ时，f（x）≤cn对任意n∈N*恒成立．…（1分）
（3）由b1=1，b2=b，得b3=|b-1|，…（1分）
①若b≥1，则b3=b-1，b4=|b3-b2|=1，b5=|2-b|，因为{bn}是周期为3的周期数列，故b5=b2=b，所以|2-b|=b，所以2-b=b，2-b=-b（舍），故b=1．
此时，{bn}为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．…（1分）
②若b＜1，则b3=1-b，b4=|b3-b2|=|1-2b|，因为{bn}是周期为3的周期数列，故b4=b1=1，所以|1-2b|=1，即1-2b=1或1-2b=-1，解得b=0或b=1，均不合题意．…（1分）
设数列{bn}的前n项和为Sn，则对n∈N*，有Sn=…（1分）
即Sn=，
所以Tn=，
因此Tn=．（2分）