Question

已知椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求|OP|的取值范围．

Answer

（Ⅰ）先由已知可得，得出3a2=4b2①又点在椭圆C上，得到解之即得a，b．从而写出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先对k 分类讨论：当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，所以；当k≠0时，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|OP|的取值范围，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）由已知可得，所以3a2=4b2①（1分）
又点在椭圆C上，
所以②（2分）
由①②解之，得a2=4，b2=3．
故椭圆C的方程为．（5分）
（Ⅱ）当k=0时，P（0，2m）在椭圆C上，解得，
所以．（6分）
当k≠0时，则由
消y化简整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）＞0③（8分）
设A，B，P点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）、（x，y），
则．（9分）
由于点P在椭圆C上，所以．（10分）
从而，化简得4m2=3+4k2，经检验满足③式．（11分）
又
=
=．（12分）
因为，得3＜4k2+3≤4，有，
故．（13分）
综上，所求|OP|的取值范围是．（14分）