Question

对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．设．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A₆₆并计算；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：=；
（Ⅲ）若，，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer

（Ⅰ）依题意可得，． ．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．从而得到结果．
（Ⅲ）由[x]的定义可知，，所以．所以．再考查定积分，根据曲边梯形的面积的计算即可证得结论．
【解析】
（Ⅰ）依题意可得，． ．
（Ⅱ）由题意可知，t（j）是数阵Ann的第j列的和，因此是数阵Ann所有数的和．
而数阵Ann所有数的和也可以考虑按行相加．
对任意的1≤i≤n，不超过n的倍数有1i，2i，…，．
因此数阵Ann的第i行中有个1，其余是0，即第i行的和为．
所以=．
（Ⅲ）证明：由[x]的定义可知，，
所以．所以．
考查定积分，将区间[1，n]分成n-1等分，则的不足近似值为，的过剩近似值为． 所以．
所以＜g（n）．所以g（n）-1＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．