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已知函数f(x)=(a≥0),f′(x)为函数f(x)的导函数. (Ⅰ)设函数f...

已知函数f(x)=manfen5.com 满分网(a≥0),f′(x)为函数f(x)的导函数.
(Ⅰ)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是y=3x-3,求a,b的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=e-ax•f′(x),求函数g(x)的单调区间.
(I)根据曲线y=f(x)在A点处的切线方程是y=3x-3,建立关于a和b的方程组,解之即可; (II)先求出函数g(x)的解析式,然后讨论a的正负,利用导数的符号研究函数的单调性,根据fˊ(x)>0和fˊ(x)<0求出函数g(x)的单调区间即可. 【解析】 (Ⅰ)∵f(x)=(a≥0), ∴f'(x)=x2+ax+1.(1分) ∵f(x)在(1,0)处切线方程为y=3x-3, ∴,(3分) ∴a=1,b=-.(各1分)(5分) (Ⅱ)g(x)=e-ax•f′(x)=,x∈R. g'(x)=-x[ax+(a2-2)e-ax].(7分) ①当a=0时,g'(x)=2x, x (-∞,0)          0        (0,+∞) g'(x) - + g(x) 减函数 极小值 增函数 g(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间(-∞,0).(9分) ②当a>0时,令g'(x)=0,得x=0或x=(10分) (ⅰ)当>0,即0<a<时, x (-∞,0) (0,) (,+∞) g'(x) - + - g(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 g(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间(-∞,0),(-,+∞);(11分) (ⅱ)当=0,即a=时,g'(x)=-2x2e-2x≤0, 故g(x)在(-∞,+∞)单调递减;(12分) (ⅲ)当<0,即a>时, x (-∞,) (,0) (0,+∞) g'(x) - + - g(x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 g(x)在(,0)上单调递增,在(0,+∞),(-∞,)上单调递(13分) 综上所述,当a=0时,g(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间(-∞,0); 当0<a<时,g(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(-∞,0), 当a=时,g(x)的单调递减区间为(-∞,+∞); 当a>时,g(x)的单调递增区间为(,0),单调递减区间为(0,+∞),(-∞,).(“综上所述”要求一定要写出来)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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