Question

已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}，a_i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数．
（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2，写出m的值；
（Ⅱ）令，U，V∈S_n，求证：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；
（Ⅲ）令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），若V∈S_n，求所有d（U，V）之和．

Answer

（Ⅰ）根据d（U，V）可知mC52；
（Ⅱ）根据ai=0或1，i=1，2，••，n，分类讨论ai=0，bi=0时，|ai|+|bi|=0=|ai-bi|；当ai=0，bi=1时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|；当ai=1，bi=0时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|；
     当ai=1，bi=1时，|ai|+|bi|=2≥|ai-bi|=0，可证，|ai|+|bi|≥|ai-bi|，再相加即可证明结论；
（Ⅲ）易知Sn中共有2n个元素，分别记为vk（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…bn）bi=0的vk共有2n-1个，bi=1的vk共有2n-1个然后求和即可．
【解析】
（Ⅰ）∵V∈S5，d（U，V）=2，
∴C52=10，即m=10；
（Ⅱ）证明：令U=（a1，a2，a3，…an），V=（b1，b2，b3，…bn）
∵ai=0或1，bi=0或1；
当ai=0，bi=0时，|ai|+|bi|=0=|ai-bi|
当ai=0，bi=1时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|
当ai=1，bi=0时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|
当ai=1，bi=1时，|ai|+|bi|=2≥|ai-bi|=0
故，|ai|+|bi|≥|ai-bi|
∴d（U，W）+d（V，W）=（a1+a2+a3+…+an）+（b1+b2+b3+…+bn）
=（|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|）+（|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|）
≥|a1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+…+|an-bn|
（Ⅲ）【解析】
易知Sn中共有2n个元素，分别记为vk（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…bn）
∵bi=0的vk共有2n-1个，bi=1的vk共有2n-1个．
∴d（U，V）=2n-1（|a1-0|+|a1-1|+|a2-0|+a2-1|+|a3-0|+|a3-1|+…+|an-0|+|an-1|=n2n-1
∴d（U，V）=n2n-1．